数式を書く練習をしてみる

$ \newcommand{\SETL}{\bigl\{} \newcommand{\SETM}{\bigm|} \newcommand{\SETR}{\bigr\}} \newcommand{\NATURAL}{{\mathbb N}} \newcommand{\REAL}{{\mathbb R}} \newcommand{\PRIME}{{\mathbb P}} \newcommand{\COMPLEX}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZEE}{{\mathbb Z}} \newcommand{\QUE}{{\mathbb Q}} \newcommand{\LAND}{\,\land\,} \newcommand{\LOR}{\,\lor\,} \newcommand{\LNOT}{\lnot} $


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\newcommand{\SQRT}[1]{\sqrt{\mathstrut #1}}
\newcommand{\ABS}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\KAKUDO}[1]{#1^\circ}
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テトラ「楕円?」

僕「そう。このあいだ、いとこのユーリに話したこと。原点中心の単位円を左右に$a$倍して、上下に$b$倍すると、$\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1$という楕円ができるって」

テトラ「はい」

僕「楕円だったら、ちょうど$x = a\cos\theta$と$y = b\sin\theta$と置けば、パラメータ表示ができるんだ。ぐるっと描ける。コンパスとは違うけど」

テトラ「いえ、あの、コンパスにこだわっているわけじゃないんですが」

僕「こういうのはどうかな。《$x^2 + y^2 = 1$という円の方程式》と《$\SQRT{x^2}+\SQRT{y^2} = 1$という正方形の方程式》が似ているって話から始まったよね」

テトラ「はい、そうですね」

僕「似ているんだから《どれだけ違うか》を比較してみたらどうだろう。数式を使って」

テトラ「比較するんですか?」

僕「そう。実はね、テトラちゃんが作ってくれた$\SQRT{x^2}+\SQRT{y^2} = 1$という正方形の方程式を見たときにすぐ、両辺を二乗したくなったんだよ」

テトラ「どうしてですか」

僕「そうすると、円の方程式にすごく近づくからなんだ!」

$$
\begin{align*}
\SQRT{x^2}+\SQRT{y^2} &= 1 && \text{正方形の方程式} \\
\left(\SQRT{x^2}+\SQRT{y^2}\right)^2 &= 1^2 && \text{両辺を$2$~乗した} \\
x^2 + 2\SQRT{x^2}\SQRT{y^2} + y^2 &= 1 && \text{左辺を展開した} \\
x^2 + y^2 &= 1 - 2\SQRT{x^2}\SQRT{y^2} && \text{$\SQRT{x^2}\SQRT{y^2}$を移項した} \\
\end{align*}
$$

テトラ「ははあ……確かに似てますね」

僕「だよね」

$$
\begin{align*}
\ABS{x} + \ABS{y} &= 1 && \text{正方形の方程式} \\
\ABS{r\cos\theta} + \ABS{r\sin\theta} &= 1 && \text{$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$を代入した} \\
r \left( \ABS{\cos\theta} + \ABS{\sin\theta} \right) &= 1 && \text{$r \geqq 0$としてくくり出した} \\
r &= \dfrac{1}{\ABS{\cos \theta} + \ABS{\sin\theta}} && \text{両辺を$\ABS{\cos\theta} + \ABS{\sin\theta}$で割った} \\
\end{align*}
$$


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『数学ガール』作者。毎週火曜日は結城メルマガ。毎週金曜日はWeb連載「数学ガールの秘密ノート」。文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。

— 結城浩 (@hyuki) 2015年5月17日