ちょっとした数式が混じった文章の例

$ \newcommand{\SETL}{\bigl\{} \newcommand{\SETM}{\bigm|} \newcommand{\SETR}{\bigr\}} \newcommand{\NATURAL}{{\mathbb N}} \newcommand{\REAL}{{\mathbb R}} \newcommand{\PRIME}{{\mathbb P}} \newcommand{\COMPLEX}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZEE}{{\mathbb Z}} \newcommand{\QUE}{{\mathbb Q}} \newcommand{\LAND}{\,\land\,} \newcommand{\LOR}{\,\lor\,} \newcommand{\LNOT}{\lnot} $


「たとえば、$r$を実数とする。そのとき、$r$を二乗した数$r^2$についてどんなことが言えるかな。考えてみよう」
$$
r^2
$$
僕の問いかけに、テトラちゃんは数秒考える。

「$r^2$は、二乗したんだから、$0$より大きくなりますよね …… そういうことですか?」

「いや、違うよ。《$r^2$は$0$より大きい》じゃなく《$r^2$は$0$以上》が正しい。$r = 0$かもしれないからね」

「あっ、そうですね。$r$がゼロだったら、$r^2$もゼロですね。はい、《$r^2$は$0$以上》ですね」

テトラちゃんは、納得したように頷く。僕も頷き、先を続ける。

「つまり、次の不等式は$r$がどんな実数であったとしても成り立つ。そうだよね?」
$$
r^2 \geqq 0
$$
「え? えっと、そうですね。$r$が実数なら、$r^2$はゼロ以上ですね」

「実数$r$はプラスか、ゼロか、マイナス。そしてそのいずれの場合でも二乗すると$0$以上になる。だから、$r^2 \geqq 0$が成り立つ。これは《$r$が実数》といわれたときに注意しておくべき重要な性質だよ。等号が成り立つのは$r = 0$の場合だ」

「あのう……、当たり前みたい、なんですけど」

「そう。当たり前だよね。当たり前のところから出発するのはいいことだよ。じゃあ、ここから少し進んでみよう。$a$と$b$が実数だとしよう。そのとき、次の不等式も成り立つ。いいかな?」
$$
(a - b)^2 \geqq 0
$$
「ええと、え、ええ。そうですね。分かります。$a - b$は実数ですものね。実数だから、二乗したら$0$以上になる。……ちょ、ちょっと待ってほしいんですが、さっきは$r^2 \geqq 0$で$r$って文字を使いましたよね。どうして今度は$a$と$b$を使ったんですか。いつも、こういうところであたし、考え込んじゃって。あたしが考え込んでいると、先生の説明はその間にずっと先まで進んじゃうんです……」

数学ガール


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『数学ガール』作者。毎週火曜日は結城メルマガ。毎週金曜日はWeb連載「数学ガールの秘密ノート」。文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。

— 結城浩 (@hyuki) 2015年5月17日