単位元以外の元の位数が$2$に等しい群はアーベル群であることの証明

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$\newcommand{\EMPTYSET}{\varnothing}$
命題

群$G$において、単位元以外の任意の元の位数が$2$に等しいならば、 $G$はアーベル群である。

(メモ)群$G$の元$g$の位数が$2$に等しいとは、$gg = e$を意味する($e$は単位元)。群$G$がアーベル群であるとは、群$G$が可換であることを意味する。すなわち、群$G$の任意の$2$元$a,b$について$ab = ba$であることを意味する。

証明

$a,b$を$G$の元とする。仮定より、
$$
(ab)(ab)=e,\quad aa=e,\quad bb=e
$$
がいえる。すなわち、
$$
ab = (ab)^{-1},\quad a=a^{-1},\quad b=b^{-1}
$$
が成り立つ。また一般に、
$$
(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}
$$
が成り立つ。よって、
$$
ab = (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} = ba
$$
すなわち$ab = ba$が成り立ち、群$G$はアーベル群である。

(証明終わり)


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『数学ガール』作者。毎週火曜日は結城メルマガ。毎週金曜日はWeb連載「数学ガールの秘密ノート」。文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。

— 結城浩 (@hyuki) 2015年5月17日