同値関係

$ \newcommand{\SETL}{\bigl\{} \newcommand{\SETM}{\bigm|} \newcommand{\SETR}{\bigr\}} \newcommand{\NATURAL}{{\mathbb N}} \newcommand{\REAL}{{\mathbb R}} \newcommand{\PRIME}{{\mathbb P}} \newcommand{\COMPLEX}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZEE}{{\mathbb Z}} \newcommand{\QUE}{{\mathbb Q}} \newcommand{\LAND}{\,\land\,} \newcommand{\LOR}{\,\lor\,} \newcommand{\LNOT}{\lnot} $


反射律($x \sim x$)と、対称律($x \sim y$ならば$y \sim x$)と、推移律($x \sim y$かつ$y \sim z$ならば$x \sim z$)が成り立つとき、関係$\sim$を同値関係という。

集合に対して何らかの同値関係を定義した後にやることは、その同値関係で割った商集合を作ることである。商集合の要素が同値類である。

同値類に属する元はどれを選んでもその同値関係においては区別がない(どれを選んでも同じ)といえる。でも、その同値関係を離れると、便利な元はある(行列の対角化と$n$乗のしやすさのことを考えている)。

反射律は群の単位元と似ている。対称律は群の逆元と似ている。推移律は群の結合法則と似ている。

反射律は恒等写像に似ている。対称律は逆写像と似ているかな?推移律は写像の合成に似ている。


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『数学ガール』作者。毎週火曜日は結城メルマガ。毎週金曜日はWeb連載「数学ガールの秘密ノート」。文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。

— 結城浩 (@hyuki) 2015年5月17日