連続写像による連結な位相空間の像は連結であることの証明

$ \newcommand{\SETL}{\bigl\{} \newcommand{\SETM}{\bigm|} \newcommand{\SETR}{\bigr\}} \newcommand{\NATURAL}{{\mathbb N}} \newcommand{\REAL}{{\mathbb R}} \newcommand{\PRIME}{{\mathbb P}} \newcommand{\COMPLEX}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZEE}{{\mathbb Z}} \newcommand{\QUE}{{\mathbb Q}} \newcommand{\LAND}{\,\land\,} \newcommand{\LOR}{\,\lor\,} \newcommand{\LNOT}{\lnot} $


命題
$f$を、位相空間$X$から位相空間$Y$への連続写像とする。
位相空間$X$が連結ならば、像$f(X)$は連結である。

証明
$f(X)$が連結ではないと仮定し、矛盾を導く。
連結の定義により位相空間$f(X)$を分離する開集合が存在するので、それらを$U,V$とする。
このとき、
$$
U \cap V = \phi, \quad
U \cup V \supset f(X), \quad
U \cap f(X) \neq \phi, \quad
V \cap f(X) \neq \phi \quad
$$
である。
$f$が連続写像であることから、連続写像の定義により開集合$U,V$の逆像も開集合になるので、それぞれ$A,B$とする。

(補足)$A,B$は、$A = \SETL a \in X \SETM \exists u \in U, f(a) = u \SETR,B = \SETL b \in X \SETM \exists v \in V, f(b) = v \SETR$と定義される。

このとき、$U \supset f(A), V \supset f(B)$なので、
$$
U \cap V \supset f(A) \cap f(B)
$$
がいえる。

(補足)$U \supset f(A)$になるのはなぜかというと、$A$の定義より$A$の任意の元$a$に対して、$f(a) \in U$といえるからである。$V \supset f(B)$も同様に考える。

ここで、$U \cap f(X) \neq \phi, V \cap f(X) \neq \phi$から、$A \neq \phi, B \neq \phi$である。
また、$U \cup V \supset f(X)$であるから$A \cup B = X$がいえる。

$U \cup V \supset f(X)$から$X$の任意の元$x$に対して$f(x) \in U \cup V$がいえ、$f(x) \in U$または$f(x) \in V$がいえる。これは$x \in A$または$x \in B$すなわち$x \in A \cup B$にほかならない。よって、$A \cup B \supset X$である。もともと$A \cup B \subset X$であるから、$A \cup B = X$がいえた。

位相空間$X$は連結であるから、
$$
A \cap B \neq \phi
$$
である。

(補足)$A,B$はどちらも空集合ではない開集合で、$A \cup B = X$なのだから、連結の定義より、$A \cap B \neq \phi$でなければならない。さもないと、$X$が$A$と$B$によって分離されてしまい、連結ではなくなってしまう。

以上より、$U \cap V \supset f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B) \neq \phi$がいえる。すなわち、
$$
U \cap V \neq \phi
$$
である。これは、
$$
U \cap V = \phi
$$
に矛盾する。したがって、$f(X)$は連結である。

(証明終わり)


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『数学ガール』作者。毎週火曜日は結城メルマガ。毎週金曜日はWeb連載「数学ガールの秘密ノート」。文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。

— 結城浩 (@hyuki) 2015年5月17日