対称式

$ \newcommand{\SETL}{\bigl\{} \newcommand{\SETM}{\bigm|} \newcommand{\SETR}{\bigr\}} \newcommand{\NATURAL}{{\mathbb N}} \newcommand{\REAL}{{\mathbb R}} \newcommand{\PRIME}{{\mathbb P}} \newcommand{\COMPLEX}{{\mathbb C}} \newcommand{\ZEE}{{\mathbb Z}} \newcommand{\QUE}{{\mathbb Q}} \newcommand{\LAND}{\,\land\,} \newcommand{\LOR}{\,\lor\,} \newcommand{\LNOT}{\lnot} $


$x_1,\ldots,x_n$に関する多項式$f(x_1,\ldots,x_n)$が、任意の二変数$x_i,x_j$を交換しても不変であるとき、この多項式を$x_1,\ldots,x_n$の対称式という。

$(y+x_1)(y+x_2)\cdots(y+x_n)$を展開して$y$について整理したとき、$y^k$の係数には$x_1,\cdots,x_n$の対称式が現れる。特にこれを$x_1,\cdots,x_n$の基本対称式という。

二次方程式の解と係数の関係は、
$$\alpha + \beta, \alpha\beta$$という$\alpha,\beta$の基本対称式と、二次方程式の係数との関係式である。


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『数学ガール』作者。毎週火曜日は結城メルマガ。毎週金曜日はWeb連載「数学ガールの秘密ノート」。文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。

— 結城浩 (@hyuki) 2015年5月17日